對此，史密斯先生毫不在意：他堅持出版，于是這本書就擺在了我們面前。史密斯先生還算有點風(fēng)度，用E.M.隱藏了他那位好心指導(dǎo)者的名字，也就是說，他把這錯誤分?jǐn)偨o了所有可能被懷疑曾試圖完成那件毫無希望的任務(wù)——即往他腦袋里灌輸一點點理智——的人。他違背了私人交往的禮儀。他不顧那位接手他案子的好心人的意愿，公布了那些本意只是為了清除他可憐腦袋里那個無望的妄想的信件。他理應(yīng)受到最嚴(yán)厲的鞭撻；而且他會得到的：他這種濫用信任的行為將伴隨他一生。這倒不是說他（在意圖上再次）對他的恩人造成了什么傷害。E.M.以驚人的耐心將那些謬誤整理成可理解的形式，并以非凡的毅力試圖找到一個能讓普通理性鉆進(jìn)去的縫隙——這些努力不止是值得尊敬：它們是令人欽佩的。我們可以向E.M.保證，像這本書這樣徹底地暴露求圓積者的本性，是件好事。他本想給予詹姆斯·史密斯先生的好處，或許可以惠及他人。而且我們非常想知道他的真名，如果征得他同意，我們將予以公布。至于詹姆斯·史密斯先生，我們只能這么說：他并沒有瘋。瘋子是在錯誤的前提下進(jìn)行正確推理：而史密斯先生則是在毫無前提的情況下進(jìn)行錯誤推理。

  E.M.很快就發(fā)現(xiàn)，從所有跡象來看，史密斯先生得出周長是直徑3又1/8倍的圓，是通過先假設(shè)存在這樣一個圓，然后推導(dǎo)出某些結(jié)果，而這些結(jié)果碰巧又與推導(dǎo)它們所依據(jù)的假設(shè)并不矛盾。錯誤有時是自洽的。然而，E.M.為了徹底弄清他的依據(jù)，寫了一封短信，陳述了他所理解的史密斯先生的假設(shè)，其中包含以下內(nèi)容：以AC為直徑，作圓D，根據(jù)假設(shè)，該圓的周長應(yīng)等于AC長度的三又八分之一倍……在進(jìn)一步討論之前，我請求確認(rèn)我是否正確地陳述了您的論證。 對此，史密斯先生回復(fù)道：您極其準(zhǔn)確地陳述了我的論證。盡管如此，E.M.還是繼續(xù)了下去，在上述情況之后，我們不禁將E.M.這兩個字母看作是Everlasting Mercy的縮寫。然而，最后，當(dāng)史密斯先生直截了當(dāng)?shù)胤裾J(rèn)圓的面積介于內(nèi)接和外切多邊形的面積之間時，E.M.徹底敗下陣來，放棄了這項任務(wù)。史密斯先生得以自由地撰寫他的序言，談?wù)撜胬淼谋厝粍倮婀值氖牵@也是所有無可救藥的錯誤者共有的慰藉；將自己比作伽利略；并向世人揭露皇家天文學(xué)家的固執(zhí)行為——史密斯曾想與他深入交談，而后者回答說：先生，聽您談?wù)撨@樣一個主題的任何言論，都是浪費時間。

  如此處理了詹姆斯·史密斯先生之后，我們接下來就此主題略作評論：一家期刊本不會主動探討這樣的主題，但由于那些自以為是者不斷試圖讓旁人相信他們的謬誤，使得這類評論變得時而必要。對于數(shù)學(xué)家，我們無話可說：問題在于，能向廣大世人提供何種保證，證明那些邪惡的數(shù)學(xué)家并非串通一氣來壓制他們的優(yōu)越者——詹姆斯·史密斯先生，這位當(dāng)今化圓為方領(lǐng)域的伽利略。

  首先讓我們注意到，這個問題并非孤例：且不說高等數(shù)學(xué)中存在的數(shù)百萬類似問題，單是求正方形的對角線，就面臨著完全相同的困難，即出現(xiàn)一對線段，其中一條無法用另一條明確地表示出來。我們將向那些懂得乘法表的讀者展示，他如何可以不斷、不斷、不斷地逼近，卻永遠(yuǎn)無法精確得到由邊長求正方形對角線的方法。

  請按照以下描述寫下這幾行數(shù)字，如果愿意，還可以繼續(xù)寫下去：

  1 2 5 12 29 70 169 408 985

  1 3 7 17 41 99 239 577 1393

  從第三個數(shù)開始，每個數(shù)都是由前一個數(shù)的兩倍加上再前一個數(shù)構(gòu)成：例如，5 = 22 + 1，12 = 25 + 2，239 = 2*99 + 41。現(xiàn)在，從上面一行取出兩個相鄰的數(shù)字，再從下面一行取出位于第一個數(shù)字正下方的那個數(shù)字：例如

  70 169

  1. 將 99 和 169 相乘，得到 16,731。那么，如果你說 70 條對角線恰好等于 99 條邊，那么你對對角線的認(rèn)識就是有誤差的，但這個誤差的大小不超過對角線真實值的 1/16,731。同樣地，說 5 條對角線恰好等于 7 條邊，所涉及的誤差也不超過對角線真實值的 1/84。

  那么，為什么化方為對角線的問題沒有像化圓為方的問題那樣聞名呢？僅僅是因為歐幾里得證明了第一個問題的不可能性，而第二個問題的不可能性直到上個世紀(jì)才被完全證明。

  數(shù)學(xué)家們擁有許多彼此完全不同的方法，來得出同一個結(jié)果——即他們著名的圓周率近似值。在我們這個時代，一位無畏的計算者已將近似值推進(jìn)到了他們所謂的607位小數(shù)：這是由霍頓勒斯的尚克斯先生完成的，而盧瑟福博士已驗證了其中的441位。盡管607這個數(shù)字看起來很大，但公眾對于所達(dá)到的精確度只會有一個模糊的概念。我們在查爾斯·奈特的《英國百科全書》中看到過對此事的描述，或許可以說明所獲得的精確度是何等難以想象，盡管在理性上可以理解。

  這章沒有結(jié)束，請點擊下一頁繼續(xù)閱讀！

  假設(shè)我們某種微生物的血球直徑是百萬分之一英寸。在想象中構(gòu)造一個像我們地球一樣的球體，但要大得多，以至于我們的地球在其某種微生物看來只是一個血球：不必在意觀察這種生物所需的顯微鏡會是個相當(dāng)龐大的儀器。稱此為高于我們的第一級球體。讓這第一級球體在尺寸上僅僅是一個血球，存在于一個更大球體的微生物中，稱此為我們之上的第二級球體。以此類推，直到我們之上的第二十級球體?，F(xiàn)在，在另一側(cè)也同樣向下延伸。讓我們最初開始的那個血球成為一個居住著類似我們但體型更小的動物的球體：{110} 稱此為我們之下的第一級球體。從這個球體中取一個血球，使其居住著生物，稱此為我們之下的第二級球體：如此類推，直到我們之下的第二十級球體。這是一個向兩端延伸的巨大跨度?，F(xiàn)在，給我們之上第二十級球體的巨人那607位小數(shù)的圓周率，當(dāng)他以與其體型相稱的精度測量了他的球體直徑后，讓他根據(jù)這607位小數(shù)計算其赤道的周長。然后，從我們之下第二十級球體請來那位小哲學(xué)家，帶著他最好的顯微鏡，讓他去觀察巨人必然會產(chǎn)生的微小誤差。他將無法成功，除非他的顯微鏡相對于他的體型而言，比我們的顯微鏡相對于我們的體型要好得多。

  現(xiàn)在，任何想嘲笑這種近似值之精確度的人必須記住，數(shù)學(xué)家通常能逼近得更接近；事實上，他的定理通常完全沒有誤差。那個被前面描述弄得暈頭轉(zhuǎn)向的人，可能很容易忘記，如果完全沒有誤差，即使是我們之下第一百萬級球體的小人國居民，也無法在我們之上第一百萬級球體的大人國居民的計算中找到任何瑕疵。一個形狀絕對精確的三角形的三個角，絕對等于兩個直角；無論將這種延伸推到多遠(yuǎn)，也