9. 任意數(shù)域中最一般互反律的證明

  對(duì)于任意數(shù)域，需證明次冪剩余的互反律，其中表示奇素?cái)?shù)；此外，還需證明當(dāng)為的冪次或奇素?cái)?shù)的冪次時(shí)的互反律。

  我相信，通過(guò)對(duì)我所發(fā)展的次單位根域理論[23]以及我的相對(duì)二次域理論[24]進(jìn)行適當(dāng)推廣，即可得到該互反律本身，以及證明該互反律所必需的方法。

  [23]《德國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)年度報(bào)告》，《論代數(shù)數(shù)域理論》（Ueber die Theorie der algebraischen Zahlk?rper），第4卷（1897年），第五部分。

  [24]《數(shù)學(xué)年刊》，第51卷；以及《哥廷根皇家科學(xué)協(xié)會(huì)通訊》，1898年。

  10. 丟番圖方程可解性的判定

  給定一個(gè)丟番圖方程，該方程包含任意多個(gè)未知數(shù)，且系數(shù)為有理整數(shù)：設(shè)計(jì)一種方法，通過(guò)有限次運(yùn)算，判定該方程是否存在有理整數(shù)解。

  11. 具有任意代數(shù)數(shù)值系數(shù)的二次型

  當(dāng)前我們對(duì)二次數(shù)域理論[25]的認(rèn)知，使我們能夠成功研究包含任意多個(gè)變量、且系數(shù)為任意代數(shù)數(shù)值的二次型理論。這尤其引出一個(gè)有趣的問(wèn)題：對(duì)于給定的、系數(shù)為代數(shù)數(shù)值且包含任意多個(gè)變量的二次方程，求其在由系數(shù)確定的有理代數(shù)域中的整數(shù)解或分?jǐn)?shù)解。

  下述重要問(wèn)題可作為連接代數(shù)與函數(shù)論的橋梁：

  [25]希爾伯特（Hilbert），《論狄利克雷雙二次數(shù)域》（Ueber den Dirichletschen biquadratischen Zahlenk?rper），《數(shù)學(xué)年刊》，第45卷；《論相對(duì)二次數(shù)域理論》（Ueber die Theorie der relativquadratischen Zahlenk?rper），《德國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)年度報(bào)告》，1897年，以及《數(shù)學(xué)年刊》，第51卷；《論相對(duì)阿貝爾域理論》（Ueber die Theorie der relativ-Abelschen K?rper），《哥廷根皇家科學(xué)協(xié)會(huì)通訊》，1898年；《幾何基礎(chǔ)》（Grundlagen der Geometrie），萊比錫，1899年，第八章，第83節(jié)[湯森德（Townsend）英譯版，芝加哥，1902年]。另可參見(jiàn)G.呂克爾（G. Rückle）的博士論文，哥廷根，1901年。

  12. 將克羅內(nèi)克阿貝爾域定理推廣至任意有理代數(shù)域

  每個(gè)阿貝爾數(shù)域都可由有理數(shù)域通過(guò)單位根域的合成得到，這一定理歸功于克羅內(nèi)克（Kronecker）。這一積分方程理論中的基本定理包含兩部分內(nèi)容，具體如下：

  第一部分：回答了關(guān)于方程的數(shù)量與存在性問(wèn)題——即存在多少個(gè)、是否存在這樣的方程：它們具有給定的次數(shù)、給定的阿貝爾群，且相對(duì)于有理數(shù)域具有給定的判別式。

  第二部分：指出這類(lèi)方程的根構(gòu)成一個(gè)代數(shù)數(shù)域，該數(shù)域與將指數(shù)函數(shù)的自變量依次取所有有理數(shù)值時(shí)所得到的數(shù)域一致。

  第一部分內(nèi)容涉及通過(guò)代數(shù)數(shù)的群與分歧性來(lái)確定某些代數(shù)數(shù)的問(wèn)題。因此，這一問(wèn)題與“根據(jù)給定黎曼曲面確定對(duì)應(yīng)代數(shù)函數(shù)”這一已知問(wèn)題相對(duì)應(yīng)。第二部分內(nèi)容則通過(guò)超越方法（即借助指數(shù)函數(shù)）給出了所需的代數(shù)數(shù)。

  由于虛二次數(shù)域是除有理數(shù)域外最簡(jiǎn)單的數(shù)域，因此產(chǎn)生了將克羅內(nèi)克定理推廣到這一情形的問(wèn)題。克羅內(nèi)克本人曾斷言，二次域中的阿貝爾方程可由具有特殊模的橢圓函數(shù)變換方程給出，由此，橢圓函數(shù)在此處扮演的角色，與前文情形中指數(shù)函數(shù)所扮演的角色相同。目前尚未有人給出克羅內(nèi)克這一猜想的證明；但我相信，基于H.韋伯（H. Weber）借助我所建立的類(lèi)域純算術(shù)定理發(fā)展而來(lái)的復(fù)乘法理論[26]，要證明這一猜想不會(huì)遇到太大困難。

  最后，將克羅內(nèi)克定理推廣到如下情形，在我看來(lái)具有至關(guān)重要的意義：不再以有理數(shù)域或虛二次數(shù)域?yàn)榛A(chǔ)，而是以任意代數(shù)域作為有理域。我認(rèn)為，這一問(wèn)題是數(shù)論與函數(shù)論中最深刻、影響最深遠(yuǎn)的問(wèn)題之一。

  從多個(gè)角度來(lái)看，這一問(wèn)題都是可研究的。在我看來(lái)，解決該問(wèn)題算術(shù)部分的最重要關(guān)鍵，是任意給定數(shù)域中次冪剩余的一般互反律。

  至于該問(wèn)題的函數(shù)論部分，研究者在這一極具吸引力的領(lǐng)域開(kāi)展工作時(shí)，可借助單變量代數(shù)函數(shù)理論與代數(shù)數(shù)理論之間顯著的類(lèi)比關(guān)系。亨塞爾（Hensel）[27]提出并研究了代數(shù)數(shù)理論中與“代數(shù)函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開(kāi)”相對(duì)應(yīng)的類(lèi)比問(wèn)題；蘭茨貝格（Landsberg）[28]則探討了與“黎曼-羅赫定理”相對(duì)應(yīng)的類(lèi)比問(wèn)題。黎曼曲面的虧格與數(shù)域類(lèi)數(shù)之間的類(lèi)比關(guān)系也十分明顯。僅以最簡(jiǎn)單的情況為例：一方面考慮虧格為（原文未明確寫(xiě)出具體虧格符號(hào)，此處按上下文保留“虧格為”后的留白）的黎曼曲面，另一方面考慮類(lèi)數(shù)為（原文未明確寫(xiě)出具體類(lèi)數(shù)符號(hào)，此處按上下文保留“類(lèi)數(shù)為”后的留白）的數(shù)域?！白C明黎曼曲面上存在處處有限的積分”這一問(wèn)題，對(duì)應(yīng)著“證明數(shù)域中存在整數(shù)（原文未明確寫(xiě)出具體整數(shù)符號(hào)，此處按上下文保留“整數(shù)”表述），使得數(shù)（原文未明確寫(xiě)出具體數(shù)的符號(hào)，此處按上下文保留“數(shù)”表述）生成一個(gè)相對(duì)于基域無(wú)分歧的二次域”這一問(wèn)題。在代數(shù)函數(shù)理論中，眾所周知，邊值問(wèn)題（Randwerthaufgabe）的方法可用于證明黎曼存在定理。而在數(shù)域理論中，證明上述整數(shù)（原文未明確寫(xiě)出具體整數(shù)符號(hào)，此處按上下文保留“整數(shù)”表述）的存在性，同樣是難度最大的問(wèn)題。要完成這一證明，必須借助“數(shù)域中總存在與給定剩余性質(zhì)相對(duì)應(yīng)的素理想”這一定理的支撐。因此，后一事實(shí)正是數(shù)論中與“邊值問(wèn)題”相對(duì)應(yīng)的類(lèi)比對(duì)象。

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  眾所周知，代數(shù)函數(shù)理論中的阿貝爾定理方程，給出了“黎曼曲面上的給定點(diǎn)數(shù)是該曲面上某一代數(shù)函數(shù)的零點(diǎn)”這一結(jié)論的充要條件。在類(lèi)數(shù)為（原文未明確寫(xiě)出具體類(lèi)數(shù)符號(hào)，此處按上下文保留“類(lèi)數(shù)為”后的留白）的數(shù)域理論中，與阿貝爾定理完全對(duì)應(yīng)的，是二次互反律方程[29]（原文未明確寫(xiě)出具體方程，此處按上下文保留“二次互反律方程”表述）。該方程表明：理想（原文未明確寫(xiě)出具體理想符號(hào)，此處按上下文保留“理想”表述）是數(shù)域的主