709.現(xiàn)代函數(shù)論——這一人智純?nèi)粍?chuàng)造中最宏偉的成就。

  ——C.J.凱瑟

  《科學(xué)、哲學(xué)與藝術(shù)演講集》（紐約，1908年），第16頁(yè)

  近世函數(shù)之論，誠(chéng)人類(lèi)智巧所鑄，最為莊偉之業(yè)也。

  ——C.J.凱瑟

  《格致哲學(xué)藝術(shù)講錄》（紐約，1908年），頁(yè)十六

  710.若讓過(guò)去的數(shù)學(xué)家，如阿基米德甚至笛卡爾，審視如今的幾何學(xué)領(lǐng)域，最先令其震撼的特征必是其非具象性。有整類(lèi)幾何理論不僅無(wú)需模型與圖解，甚至（看似）完全不依賴(lài)空間直覺(jué)。這主要源于分析研究工具相較純幾何方法的強(qiáng)大力量。

  ——愛(ài)德華·卡斯納《幾何學(xué)當(dāng)前問(wèn)題；美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)通報(bào)》，1905年，第285頁(yè)

  設(shè)使阿基米德、笛卡爾之倫，觀今世幾何之學(xué)，必驚其虛玄。蓋今世幾何諸論，不恃圖式，不假直觀，超然于形骸之外。此無(wú)他，析理之器精于古法，故能臻此妙境也。

  ——愛(ài)德華·卡斯納《幾何時(shí)務(wù)；美邦算學(xué)會(huì)刊》，1905年，頁(yè)二百八十五

  711.歐幾里得的命題皆獨(dú)立存在，從不明示與其他命題的聯(lián)系，亦不闡述證明中的核心思想，更無(wú)普適原理可言。而現(xiàn)代方法恰恰相反，最重視貫穿整體的主導(dǎo)思想；相較于單獨(dú)命題，更傾向于給出能將整組定理統(tǒng)攝于同一視角下的普適原理。整體趨勢(shì)皆指向一般化。直線(xiàn)被視作完整存在——向兩端無(wú)限延伸，而歐幾里得始終謹(jǐn)慎，只承認(rèn)有限量。事實(shí)上，對(duì)無(wú)限的處理正是兩種方法的另一根本差異：歐幾里得回避無(wú)限，現(xiàn)代數(shù)學(xué)則系統(tǒng)性引入無(wú)限，因唯有如此方能實(shí)現(xiàn)一般化。

  ——阿瑟·凱萊《大英百科全書(shū)》（第9版），“幾何學(xué)”條目

  歐氏之學(xué)，命題孤峙，不彰其聯(lián)；證理之要，秘而不宣；通例大法，概乎未聞。今世之術(shù)，則重統(tǒng)攝之思，尚一貫之理，總?cè)貉砸詾樽冢蔷杏谝晦o。其旨?xì)w在求其博。今世視直線(xiàn)者，向兩端而無(wú)極；歐氏則謹(jǐn)守有限之量，未嘗越雷池一步。此二者于“無(wú)窮”之辨，實(shí)古今殊致之樞要也。歐氏避之若浼，今世納為圭臬，蓋非此無(wú)以成其廣。

  ——阿瑟·凱萊《大英百科全書(shū)》（第九版），“幾何”篇

  712.這正是現(xiàn)代幾何相較古代幾何的最大優(yōu)勢(shì)之一：通過(guò)考慮正負(fù)量，可在單一表述中涵蓋定理因圖形各部分相對(duì)位置變化而呈現(xiàn)的多種情形。例如在當(dāng)代，阿波羅尼奧斯《論定截線(xiàn)》兩卷中構(gòu)成83個(gè)定理研究對(duì)象的9個(gè)主要問(wèn)題及眾多特殊情形，如今僅構(gòu)成一個(gè)可由單一方程解決的問(wèn)題。

  ——M.沙勒《幾何學(xué)史》，第1章，第35節(jié)

  今世幾何勝于古者，其要一焉：以正負(fù)之術(shù)，賅定理之變。一辭之中，盡包圖形異位之諸態(tài)。昔阿波羅尼奧斯《論定截線(xiàn)》二卷，以八十三理析九題，旁及眾例；今世以一方程解之，歸為一題，可謂簡(jiǎn)易而得要矣。

  ——M.沙勒《幾何史》，首章，三十五節(jié)

  713.歐幾里得始終將直線(xiàn)視為兩點(diǎn)間所畫(huà)線(xiàn)段，且會(huì)謹(jǐn)慎說(shuō)明何時(shí)將其延長(zhǎng)至線(xiàn)段之外。他從未將直線(xiàn)視為預(yù)先作為整體存在的實(shí)體。這種謹(jǐn)慎的定義與限制——以排除非感官直接可察的無(wú)限——是希臘人在所有活動(dòng)中的典型特征。這一特征既體現(xiàn)在希臘建筑與哥特建筑的差異中，也體現(xiàn)在希臘宗教與現(xiàn)代宗教的區(qū)別里。哥特式大教堂的尖頂與現(xiàn)代幾何中無(wú)限直線(xiàn)的重要性，皆象征著現(xiàn)代世界的變革。

  ——A.N.懷特海《數(shù)學(xué)導(dǎo)論》（紐約，1911年），第119頁(yè)

  歐氏論線(xiàn)，必始于兩點(diǎn)，其延也必明言。未嘗以線(xiàn)為渾然全體。如此審慎，限定畛域，屏感官未逮之無(wú)窮，此希臘人立事之通性也。觀乎希臘、哥特之構(gòu)，古今宗教之異，皆可征焉。哥特教堂之尖頂，今世幾何之無(wú)線(xiàn)，皆為世道遷變之征也。

  ——A.N.懷特?！端銓W(xué)啟蒙》（紐約，1911年），頁(yè)百一十九

  714.古希臘的幾何問(wèn)題與定理總是涉及確定的、往往相當(dāng)復(fù)雜的圖形。如今，這類(lèi)圖形中的點(diǎn)和線(xiàn)可能呈現(xiàn)出許多不同的相對(duì)位置，古人會(huì)對(duì)每一種可能的情況分別加以考慮。相反，當(dāng)代數(shù)學(xué)家會(huì)讓圖形相互生成，并習(xí)慣于將它們視為可變化的；通過(guò)這種方式，他們借助負(fù)量和虛量將各種情況盡可能地結(jié)合統(tǒng)一。例如，阿波羅尼奧斯在其《論比例截線(xiàn)》兩卷中探討的問(wèn)題，如今用一種普遍適用的構(gòu)造方法就能解決；而阿波羅尼奧斯則將其分成八十多種僅因位置不同而變化的情況。正如赫爾曼·漢克爾恰切指出的，古代幾何為了表面的簡(jiǎn)單性，犧牲了原理統(tǒng)一的真正簡(jiǎn)單性；它以承認(rèn)幾何形式在所有變化和感官可呈現(xiàn)位置中的關(guān)系為代價(jià)，換來(lái)了瑣碎的感官可呈現(xiàn)性。

  ——特奧多爾·賴(lài)耶

  《古今綜合幾何；德國(guó)數(shù)學(xué)家協(xié)會(huì)年報(bào)》，第2卷，第346-347頁(yè)

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  古希臘幾何命題，常關(guān)乎具體圖形，甚者構(gòu)造繁復(fù)。圖中諸點(diǎn)線(xiàn)，位置變化多端，古人必逐一分疏。今世算家則不然，善使圖形相生相變，以變量視之，更借正負(fù)、虛數(shù)之法，匯諸例為一統(tǒng)。如阿波羅尼奧斯《論比例截線(xiàn)》兩卷所論之題，今世以一法通解；而古人則析為八十余例，僅因位置差異便各自為論。誠(chéng)如赫爾曼·漢克爾所言：古之幾何，為求表面簡(jiǎn)明，反失原理統(tǒng)一之真簡(jiǎn)；寧取感官可察之淺近表象，而棄幾何形相變易之深層關(guān)聯(lián)——雖其位可辨于目，然其理未通于神。

  ——特奧多爾·賴(lài)耶《古今綜合幾何論；德意志算家協(xié)會(huì)年報(bào)》，第2卷，第346-347頁(yè)

  715.眾所周知，中學(xué)規(guī)定的數(shù)學(xué)本質(zhì)上是歐幾里得式的，而讓我們深入理解自然機(jī)制和規(guī)律的，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)、函數(shù)論和微積分。歐幾里得數(shù)學(xué)確實(shí)是函數(shù)論的前提，但就像一個(gè)人雖然學(xué)了拉丁語(yǔ)名詞和動(dòng)詞的屈折變化，卻未必能讀懂拉丁作家的作品，更不用說(shuō)欣賞賀拉斯的妙處一樣，歐幾里得數(shù)學(xué)，也就是中學(xué)的數(shù)學(xué)，無(wú)法開(kāi)啟自然及其規(guī)律的大門(mén)。歐幾里得數(shù)學(xué)假定數(shù)學(xué)形式是完整且不變的；它以適當(dāng)?shù)臏?zhǔn)確