第六章

  數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與研究

  601. 閱讀任何代數(shù)論著時(shí)，首要之事是透徹理解其中展示的各個(gè)演算步驟及其相互聯(lián)系。僅靠泛讀——無(wú)論多么專注——都無(wú)法達(dá)成這一目標(biāo)。數(shù)學(xué)著作不可能將學(xué)生必須內(nèi)化的每個(gè)過(guò)程都詳盡展開(kāi)。許多結(jié)果（例如充斥于論證中的加法、乘法、開(kāi)平方等運(yùn)算）的細(xì)節(jié)會(huì)被省略。學(xué)生不應(yīng)輕信這些內(nèi)容，而必須親自用筆演算——進(jìn)行任何數(shù)學(xué)推演時(shí)，手中的筆都不可停歇?！履Ω稊?shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與難點(diǎn)》（芝加哥，1902年），第12章

  讀代數(shù)著作時(shí)，首務(wù)在于徹悟書中所示諸般算法，及算法間之關(guān)聯(lián)。然縱悉心研讀，亦不可僅靠閱讀達(dá)成此境。數(shù)學(xué)著作中，諸多推演步驟需學(xué)者自心補(bǔ)全，方算盡握其要——書中每略去加減、乘算、開(kāi)方等運(yùn)算細(xì)節(jié)，而此類推導(dǎo)又俯拾皆是。學(xué)者切不可輕信書中結(jié)果，必以己筆演算；凡研數(shù)學(xué)，手中之筆不可暫輟。

  ——德摩根《數(shù)學(xué)之研習(xí)與難點(diǎn)》（芝加哥，1902），第十二章

  602. 學(xué)生不應(yīng)放過(guò)任何鍛煉數(shù)值計(jì)算能力的機(jī)會(huì)，尤其是運(yùn)用對(duì)數(shù)表的實(shí)踐。他將數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題的能力，直接取決于其運(yùn)算的熟練程度?！履Ω稊?shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與難點(diǎn)》（芝加哥，1902年），第12章

  學(xué)者當(dāng)不失任何機(jī)會(huì)操練數(shù)值計(jì)算，尤重對(duì)數(shù)表之運(yùn)用。其將數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題之能力，與計(jì)算熟練度成正比。

  ——德摩根《數(shù)學(xué)之研習(xí)與難點(diǎn)》（芝加哥，1902），第十二章

  603. 初學(xué)者選擇的練習(xí)題目應(yīng)當(dāng)簡(jiǎn)單，且避免包含極大數(shù)值。人的心智無(wú)法同時(shí)專注于兩件事：若復(fù)雜的數(shù)字運(yùn)算已耗盡全部注意力，便無(wú)暇觀察所遵循法則的原理?！履Ω稊?shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與難點(diǎn)》（芝加哥，1902年），第3章

  初學(xué)者選習(xí)題，宜從簡(jiǎn)易者始，勿用大數(shù)。蓋人之腦力不可分心二用：若數(shù)字繁復(fù)至耗竭心神，則無(wú)暇體悟算法之原理。

  ——德摩根《數(shù)學(xué)之研習(xí)與難點(diǎn)》（芝加哥，1902），第3章

  604. 歐幾里得與阿基米德被公認(rèn)為智者，其論述皆經(jīng)嚴(yán)謹(jǐn)證明。但若有人通讀其著作時(shí)未能領(lǐng)悟證明的關(guān)聯(lián)與結(jié)論的實(shí)質(zhì)——即便理解全部字句——他依然一無(wú)所獲。他或許會(huì)相信，卻并不真正理解這些數(shù)學(xué)家的言說(shuō)，因而其數(shù)學(xué)知識(shí)不會(huì)因閱讀權(quán)威著作而有絲毫增進(jìn)?！蹇?，約翰《理解力指導(dǎo)》，第24節(jié)

  世人皆謂歐幾里得與阿基米德學(xué)識(shí)淵博，所言皆有論證。然若讀其書而不解證明之脈絡(luò)、不明推導(dǎo)之要旨，縱識(shí)其所有文字，亦未增學(xué)識(shí)。此乃信其言而非知其理，雖讀名家經(jīng)典，于數(shù)學(xué)之道實(shí)無(wú)進(jìn)益。

  ——約翰·洛克《理解的指導(dǎo)》，第二十四節(jié)

  605. 學(xué)生應(yīng)以最持久的專注力研讀著作，以把握每句話的含義。若書籍編寫得當(dāng)，這種精讀必有所獲：即便沒(méi)有示例輔助，正文本身也應(yīng)足夠清晰。遺憾的是，讀者常草率掠過(guò)正文，不作切實(shí)深入的理解，便急于通過(guò)例題來(lái)澄清本可通過(guò)細(xì)讀正文消解的困惑。在我看來(lái)，嚴(yán)謹(jǐn)推敲文本的習(xí)慣有多重意義：對(duì)語(yǔ)言的縝密剖析，無(wú)論對(duì)學(xué)術(shù)研究還是現(xiàn)實(shí)生活都是極有價(jià)值的訓(xùn)練。在高等數(shù)學(xué)領(lǐng)域，這種習(xí)慣更不可或缺——冗長(zhǎng)的論證中不可能處處插入示例，學(xué)者必須逐句攻克并掌握那些復(fù)雜而宏大的推理?！械潞嗵?，伊薩克《數(shù)學(xué)自學(xué)指南》；《學(xué)科沖突及其他論文集》（倫敦，1873年），第67頁(yè)

  學(xué)者讀典籍，當(dāng)凝神細(xì)思，以求通曉每句真意。若書為佳作，必經(jīng)得住細(xì)究，且文義自明，縱無(wú)例題亦不難解。然世人常匆匆掠過(guò)正文，不肯悉心思索，動(dòng)輒依賴?yán)}釋疑——實(shí)則若深思文本，本不應(yīng)有晦澀之處。于我而言，審慎研讀正文之習(xí)慣至關(guān)重要：推敲文句，于治學(xué)與處世皆為可貴操練。至高深數(shù)學(xué)領(lǐng)域，此習(xí)慣更是必需——復(fù)雜長(zhǎng)推導(dǎo)中，斷無(wú)處處插例題之理，學(xué)者唯逐句攻克冗長(zhǎng)論證。

  ——艾薩克·托德亨特《數(shù)學(xué)自學(xué)論；學(xué)科沖突及其他論文》（倫敦，1873），第67頁(yè)

  606. 難免會(huì)遇到無(wú)法理解或理解不透徹的段落，此時(shí)當(dāng)如何應(yīng)對(duì)？在給予合理程度的專注后，學(xué)生不妨?xí)簳r(shí)跳過(guò)，將晦澀處留待日后解決……自學(xué)者的自然傾向往往不是過(guò)早放棄難題，而是在其上耗費(fèi)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間。不愿承認(rèn)挫敗的驕傲與不甘受阻的倔強(qiáng)，會(huì)驅(qū)使人持續(xù)努力——即便成功似乎無(wú)望。唯有經(jīng)驗(yàn)?zāi)茏屛覀兇_信：當(dāng)心智徹底疲憊時(shí)，既無(wú)力沿既定方向有效推進(jìn)，也缺乏開(kāi)拓新徑的彈性；而暫時(shí)擱置后再度回歸，反而可能達(dá)成目標(biāo)?！械潞嗵?，伊薩克《數(shù)學(xué)自學(xué)指南》；《學(xué)科沖突及其他論文集》（倫敦，1873年），第68頁(yè)

  書中或有不解或難解之處，當(dāng)如何處之？于某段文字凝神思索后，可暫置不顧，留待他日再究……我以為，自學(xué)者常犯之病，非過(guò)早跳過(guò)難點(diǎn)，而是滯留過(guò)久——不甘認(rèn)輸之傲、不愿受挫之毅，皆促人在無(wú)望時(shí)仍強(qiáng)行苦思。唯歷經(jīng)世事方知：心力耗盡時(shí)，既難沿舊路前行，亦難另辟新徑；暫離所研，他日再返，或能得償所愿。

  這章沒(méi)有結(jié)束，請(qǐng)點(diǎn)擊下一頁(yè)繼續(xù)閱讀！

  ——托德亨特，伊薩克《數(shù)學(xué)自學(xué)指南》；《學(xué)科沖突及其他論文集》（倫敦，1873年），第68頁(yè)

  607. 任何值得研讀的數(shù)學(xué)著作都必須以往復(fù)回環(huán)的方式閱讀——若允許我如此表述。我會(huì)稍修改拉格朗日的建議：繼續(xù)前進(jìn)，但要時(shí)常折返以鞏固信念。遇到艱澀乏味的段落時(shí)，不妨?xí)簳r(shí)跳過(guò)；待后文顯明其重要性或?qū)嶋H需求時(shí)，再回頭攻克?！死锼顾?，喬治《代數(shù)（第二部）》（愛(ài)丁堡，1889年），前言第8頁(yè)

  凡堪精研之算學(xué)典籍，皆宜循“往復(fù)周流”之法以讀之。吾稍變拉格朗日之策曰：“勉力前行，然須?；厮菀怨唐湫??！庇鲈懬y通之章，可暫置之；待后文彰顯其要義或見(jiàn)諸實(shí)用時(shí)，再返而攻堅(jiān)。

  ——克里斯塔爾，喬治《代數(shù)（第二部）》（愛(ài)丁堡，1889年），前言第8頁(yè)

  608. 現(xiàn)代劍橋數(shù)學(xué)教材中龐大的習(xí)題集堪稱其獨(dú)特標(biāo)志——國(guó)外數(shù)學(xué)論著乃至早期英語(yǔ)教材都鮮見(jiàn)如此編排。這一現(xiàn)象表明：掌握數(shù)學(xué)未必需要永無(wú)止境的習(xí)題演練......不必困囿于例題，你們的主要任務(wù)（我甚至可以說(shuō)唯一任務(wù)）應(yīng)是透